<<九章算术>>

花雨

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一、内容  
《九章算术》分类搜集了246个问题，并给出了每个问题的解答，显然该书旨在对当时的数学知识作出全面叙述。其内容遵循这样一套格式：每举出一个问题之后，紧接着是数值答案，然后是解题的详细过程。每个问题都以特殊的数字实例来表述。在缺乏代数表示法的情况下，解题方法用修辞法来表述，即描述对于数据所实施一系列算术运算的语言指令。它从未明确尝试想要证明所用方法的有效性。  
《九章算术》把所有问题按以下标题作了分类：  
（1）方田：给出了求得矩形、三角形、梯形、圆形、弓形、扇形、环形等各种形状田亩面积的法则。就直线构成的图形而言，所给出的法则是精确的；在计算圆形的面积中设定π=3；而对于弓形、扇形所给出的法则是近似的。此外，本章还阐明了分数运算的法则。  
（2）粟米：本章首先列出了不同谷物之间的兑换比率表，它处理的是一种给定量的谷物与另一种谷物之间的兑换问题。此外，与此有关的出钱问题也有所处理。  
（3）衰分：本章诸问题讲述了在不同等级的团体之间，分配数量随着爵位次第、应纳赋税等的差别而不同，此外还处理了更复杂的比例问题。  
（4）少广：在已知某图形面积及一边之长的情况下，求得未知边的长。此外，还给出了已知正方形面积求其一边之长的法则（开平方根），以及由已知立方体体积求其边长（开立方根）。这些均依靠筹算术语得到表达。  
（5）商功：对土方工程的规模及挖掘各种形状土方量的计算。  
（6）均输：探讨由于评估征税负担而引起的混合计算问题，本章后一部分含有包括追及问题在内诸问题的解决答案。  
（7）盈不足：考虑的是联合购买的问题。相当于y=ax类型的方程。这些问题依据因假设检验答案所产生的盈与不足而得到解决（相当于中世纪欧洲的“试位法”）。  
（8）方程：本章所解决的问题相当于联立一次方程组。数据在算筹板上排成矩阵，其操作运算相当于现代代数中的消元法。正、负数的运算也有所描述。  
（9）句股：本章处理毕哥达拉斯定理的各种应用。实际上后一部分的某些问题涉及到二次方程的解法，其中至少有两例以完全相同的形式见于公元九世纪印度数学的成果之中（迈索的玛哈维拉）。  
《九章算术》为世界上现存最早的全面总结算术成就的教科书。尽管其问题全都在拟设的实际情况之中来表述，但远远不止是一部为计算和计量而作的官方手册，而且从其自身来看，该书的佚名作者显然对数学理论自身感兴趣。这部著作对后世中国数学的发展拥有权威性和重大影响，而其中令人遗憾的结果则是中国数学家曾因一味遵循它所建立的模式而受到限制。无论一个问题的理论兴趣有多强，它总不得不靠某种实际需要而加以激励（常常带有明显的矫揉做作）。  
二、成书  
《九章算术》连贯性及条理性足以表明它很可能由单一作者写成或编纂而成。它属于汉代著作，这从来无人置疑，但它所包含的数学知识中有很多至少可以追溯到战国时代。撇开如此丰富的理论内容不可能突然迅速发展起来这一点不说，就算是先秦最小的国家，如果没有能够解决《九章算术》中所讲的许多有关计量以及财政、人力的分配问题的畴人，也不可运作国家事务。  
值得考虑的是早在《九章算术》之前，就可能存在将数学分为九部分的传统，由此影响了这部著作所采用的结构。九分系统首次出现于至少成书于汉初的《周礼》之中，根据该书所载的古代政府的理想方案，贵族子弟由为人熟知的保氏官教以六艺，每艺之下又分细目，因此有了五礼、六乐等等。所教的六艺中最后一艺为九数，即九种计算方法。与其他几艺一样，《周礼》并没有列出九数的细目。  
现存最早的有关对九数的尝试性解释是由郑众（83年卒）作的，而后由郑玄（127-200）在为《周礼》相应的章节作注时所引用（见《四部丛刊》，卷四，第8页上）。前八部分细目与现在通行的《九章算术》本中前八目相同，仅仅除了第七目与第八目位置互换及另两目因用字不同而造成的细微差异（即以“差分”代替了“衰分”，以“赢不足”代替了“盈不足”，后者变化的产生也许是由于避汉惠帝的名讳）。第九部分细目不是勾股，而是“旁要”这样一个未知含义的术语。郑众所列出的显然在他那个时代已经过时，因为他又补充说：“今有重差（运用相似直角三角形的通常术语）、夕桀（其词义尚未可知）、句股也。”原有的细目差不多肯定可以追溯到西汉时期，而上述的三个新词中以勾股取代旁要，是很富启发的。《九章算术》流行于郑玄那个时代，据说郑玄通晓此书（见《后汉书》卷三十五，第1207页）。更重要的是，据说马融之兄马续也善《九章算术》，而且他一定在郑众死后不久研究过此书（《后汉书》卷二十四，第862页）。  


2006-10-29 15:58 回复  

殷逝
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2楼

《九章算术》在东汉初期已经十分流行，这似乎是很清楚的，但有关它更早的历史却是模糊不清。公元三世纪的注释者刘徽（见下文）在其序文中，正确地观察到了《九章算术》表露其为汉代作品的迹象，例如有关行程的问题中常常提及到长安的日程。由于刘徽把《周礼》视为真实记录周代初期政府的经典，他确信在先秦时期就已存在《九章算术》的旧文。进而他显然又把郑玄所列细目作为这样一部古书的内容，因为他注意到今本“与古或异”。至于他有关《九章算术》由张苍（公元前？-前152）因遗残旧文删补而成的说法，除了张苍是以擅长数学著称于世的名流这一事实之外（见《史记》卷九十六，第2676页），似乎没有其他依据。  
直到最近，看来才明了《九章算术》不太可能早至张苍那个时代。已知第六个细目“均输”最早是作为公元前110年（《史记》卷三十，第1441页）汉武帝所采用的经济措施中的一个词语而用的，而且在“均输”卷的第九个问题中所提到的上林苑和太仓皆为武帝时有名的建筑。此外，《九章算术》没有出现于《汉书&#8226;艺文志》所著录的数学典籍中，这些著录的书目只是照录了由刘歆（公元前46-23）及其父亲刘向（公元前79-前8年）经过详尽研究之后、大约于公元前六年左右呈送给皇帝的一个清单而已。很难相信这样一部在后汉很有影响的著作，假如在公元前一世纪就已流行，却没有被刘歆他们注意到，因此看来它很有可能迟至王莽统治时期（9-23）才编成。公然依附《周礼》体制是王莽管理国家事务的一个重要的基准，而他的统治对于恢复“九数”中古老课目的试图来说是一个有利时期。  
《九章算术》的作者仍然是个谜，然而1983至1984年在湖北省江陵县张家山247号汉墓中所发现的几部竹简书已弄清一些背景情况。其中有一部名为《算数书》，其体例及内容看上去与《九章算术》的体例内容有密切的关系。这部著作损坏严重，因而迄今只颁布了有关其内容的一段简短而初步的叙述（见杜石然《江陵张家山竹简〈算数书〉初探》，《自然科学史研究》1988年第7卷第3期，第210-214页）。张家山汉墓属于公元前二世纪前半期，接近于张苍的那个时代，故引人关注。由于出于同一墓中的另一文献包含了原先认为是在公元前约110年左右才被采用的“均输”一词（见上文），因而把《九章算术》的时代标定得更早看来并非那么不可能。  
三、注释本  
最早对《九章算术》作注释的可能是徐岳（活跃于220年左右），据说他也是至今尚存的《数术记遗》一书的作者。他的注释一直到隋唐都为人所知，但到宋代却失传了。至今尚存的最早注释为刘徽所作，据《隋书》卷十六，第404页载，刘徽作注于曹魏时代，其年代为263年。然而，在关于圆田面积的注释中，刘徽提到了保存于晋武库（建于265年）中的铜斛，看来他在为新王朝服务的同时仍继续作注。  
刘徽的注释为古代数学的伟大成就之一，尤其是以他对圆周率所作的研究而闻名。如同《周髀算经》一样，《九章算术》使用了大约值π=3。刘徽通过增加内接多边形边的数量，以达到逐步精确的近似值的方法来解决问题，得到了更优的结果。他的最终值相当于π=3.14。正如上文所述，《九章算术》本身并不去证明所示方法的有效性，大概他们觉得只要得到正确的答案就满足了，然而刘徽却显然有兴趣对于典籍中所列的诸方法提供一般的辩护，他通过以几何术语重新解释书中的算法过程来做这件事。刘微所提供的图在唐代没有保存下来，然而戴震对其设法作了复原（见下文）。  
此外，刘徽在对《九章算术》作完注释之后，又新增加了“重差”一章，论述使用晷表测望的方法。隋唐时，这部分内容作为第十章仍缀于《九章算术》之后（见《隋书》卷三十四，第1025页），但是到了唐代，它开始以单行本流行传播，并被人依据它第一个问题的名称取名为《海岛算经》（《旧唐书》卷四十七，第2039页；《新唐书》卷五十九，第1546页）。此书至今仍然存在。  


2006-10-29 15:58 回复  

殷逝
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3楼

曾注过《周髀算经》的甄鸾对《九章算术》的注本在唐代之后也同样失传了。由祖中（又作祖仲）作的注本尽管未列入隋唐经籍志中，但在藤原佐世的目录中却有所提及，这位注释者可能就是五世纪伟大的数学家祖冲之，他的书可能是622年因在黄河上沉船淹没而遭亡佚的隋朝所藏图书之一。  
656年，李淳风奉敕编写为太学所使用的数学课本（《旧唐书》卷七十九，第2719页），出于此目的，他以带有刘徽注释本子为底本，对《九章算术》作了一个再注本。李注中保存了一些令人关注的早期资料。正是由于他的工作才使得通行本固定了下来。此外，北宋皇家图书馆成员李籍也提供了注释资料，在该书于1084年刊印以前，他还增添了一篇附录，名为《九章算术音义》。  
四、文献源流  
《九章算术》通行本的真实性是无庸置疑的，关于这部著作尚存的所有版本皆可追溯到北宋皇家图书馆于1084年所刊印发行的一部收有九种数学著作的丛书（其中也包括《周髀算经》）。《九章算术》与刘徽、李淳风的注释以及李籍的附录一同得到了刊印，这种印本并没有保存到现在，而我们所得的是鲍浣之于1213年重新刊印后所保留的本子。据他的后叙中所言，在1126年北宋灭亡之后，关于《九章算术》的研究几乎彻底停滞了，当时不仅很少有学者对此问题感兴趣，而且唯一可得的本子也缺少刘注及李注等必要的注释，而且说成是黄帝所作。这种本子由荣囗于1148年重刊发行，其中荣囗的序语被收入《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》（1261年）中。  
庆幸的是，1200年夏，一册1084年皇家图书馆原印的本子落到了鲍浣之一位杭州朋友之手，于是他抄写下来并予以刊刻。到了明代，鲍本被抄入了《永乐大典》中。一部鲍本的残本（只有1到5章）现藏于上海图书馆。17世纪晚期，这部残本曾影刻收入《天禄琳琅丛书》。《宋刻算经六种》（北京：文物出版社，1980年）影印了上海图书馆所藏的残本。  
戴震（1724-1777）在为篡修《四库全书》而编辑《九章算术》时，显然未听说有南宋印本流传，而是仅仅依据《永乐大典》。他对原著及注释做了大量的校勘工作，并添入了所复原的已失传的刘徽图解。除了前文已提及的例外，戴震本是所有丛书所翻印的底本。从一方面看慎重是必要的，一些丛书如《诸子集成》翻印了武英殿聚珍版，除了加上标点以外，一切照旧，出自《永乐大典》的文本在文中附有戴震的注释和校勘。其他的丛书如《四部丛刊》虽然把戴震的注释集中在每一章的末尾，但是印出的原文却已按照戴震的观点作了修正。附有序言的钱宝琮点校本被列入他的《算经十书》中出版（北京：中华书局，1963年）。钱宝琮除了利用上述的主要资料外，还利用了杨辉著作中对于《九章算术》的引文。然而迄今为止全书最好的版本要数郭书春所编定的《九章算术》（沈阳：辽宁教育出版社，1990年）了。郭著有重要的导言性专题论文及大量注释。  
五、研究成果和译著  
丁福保及周云青对《九章算术》的全部图书资料作了一个总汇编，见《四部总录算法编》（上海：商务印书馆，1957年）。李潢在《九章算术细草图说》（大约1790）中所作的细致研究至今仍很有用。现代的重要研究见白尚恕《九章算术注释》（北京：科学出版社，1983年）以及上文已提过的郭书春的著作，两书在一些地方意见正好相反。李约瑟等《中国科学技术史》第三卷（剑桥：剑桥大学出版社，1959年）及三上义夫《中国和日本数学的发展》（莱比锡：1913年，第8-25页）提供了一个很方便的介绍。最近两部以西方语言写成的中国数学通史讨论了《九章算术》一书，见李俨和杜石然《简明中国数学史》（牛津：克拉伦顿出版社，1984年，第33-59页）以及马若安《中国数学史》（巴黎：1988年，第115-126页）。  
西方语言的译本有下列几种：  
1．别列兹金娜：《九章算术》，见《数学史研究》（莫斯科），1957年，第10期，第423-584页）。  
2．科特&#8226;福格尔：《九章算术》，奥斯瓦尔德精确科学经典，卷4，1968年。  
3．本篇写作时（1992年），林力娜（巴黎：国家科学研究中心）正在进行《九章算术》及刘徽注的法译工作。  
六、索引  
《周髀算经、九章算术逐字索引》，刘殿爵、陈方正编，收入《先秦两汉古籍逐字索引丛刊》，香港：商务印书馆，将在1996年出版。